BREVET 97 CF PB

Dans ce problème on veut calculer les aires d'un carré, d'un hexagone régulier et d'un décagone régulier de même périmètre (120 mètres).Les trois parties du problème sont indépendantes.
Toutes les longueurs qui interviennent sont exprimées en mètres et les aires en  m2.

1- ETUDE DU CARRE :
Calculer le côté puis l'aire d'un carré de 120 mètres de périmètre.

2 - ETUDE DE L'HEXAGONE REGULIER :

pb1.gif (7089 octets) La figure jointe au sujet représente un hexagone régulier ABCDEF de 120 mètres de périmètre.
Il est inscrit dans un cercle de centre O ; il est constitué de six triangles équilatéraux.
Le segment [OH] est une hauteur du triangle équilatéral OAB.

a) Calculer la longueur AB du côté de l'hexagone régulier.
b) En déduire AH puis la valeur exacte de OH. (on justifiera chaque réponse).
c) Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle OAB.
d) Calculer la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10 m2 près de l'aire de l'hexagone régulier de 120 mètres de périmètre.

3 - ETUDE DU DECAGONE REGULIER :

pb2.gif (6335 octets) La figure jointe au sujet représnte un décagone régulier MNPQRSTUVW de 120 mètres de périmètre. Ce décagone est inscrit dans un cercle de centre I. Le segment [IK] est une hauteur du triangle isocèle IMN.

a) Calculer la longueur MN du côté du décagone régulier.
b) Calculer l'angle pb3.gif (164 octets) puis l'angle pb4.gif (166 octets)
c) Montrer que la valeur arrondie au cm près de IK est 18,47 mètres.
d) En utilisant la valeur approchée de IK donnée en c), calculer :
- l'aire du triangle MIN;
- l'aire du décagone régulier ; donner la valeur à 10  m2 près de ce dernier résultat.

La solution rapide